Reflektionstext av Håkan Lennerstad
För mig är lyssnade på studenters matematiska frågor både överraskande och givande. Vissa frågor kan jag besvara omedelbart, men de andra, de idémässiga, är de som är mest givande för mig. Och för studenten, om vi lyckas med en bra dialog. Sådana frågor tvingar mig att bredda min matematikuppfattning – att inte bara tänka så som jag är van vid. Jag kan verkligen få syn på en annans sätt att uppfatta matematik. Matematikutbildningen är ju upplagd så man ska utveckla en bra uppfattning av matematik – sin egen. Sällan tar man del av någon annans. Kanske är det en stor orsakt till att jag upptäckte de dialogiska kvalitéerna som lärare först några år efter jag hade doktorerat.
Något av det viktigaste jag lärt från studenters feedback är hur matematikspråket inte bara är ett kraftfullt språk, utan även kan vara ett hinder. Till att börja med gäller det terminologin. De flesta ord (t.ex. lösning, tal, rot, funktion, graf) har en annorlunda betydelse i matematik än i normalspråket – ibland bara en distinktion ifrån. Dessa skillnader måste påpekas och diskuteras. För det andra gäller det formelspråket, som vi lärare ofta tar för givet. Här tycks det vara två huvudproblem – formelspråkets regler, och dess samband med betydelserna.
Reglerna, ett kort exempel: Det finns många synonymer såväl som dubbelbetydelser. Några synonymer: 0.5, 1/2, 2-1, 50%, eller x2/(x2 +1), 1 – 1/(x2 +1), 1/(x-2 +1). Några dubbelbetydelser: parenteserna (), i x(y+z) eller i f(x). Endast den ena tillåter att multiplicera in fast de är identiska. Vågrätt streck ”–” har tre betydelser: del av negativt tal, subtraktion, bråkstreck.
Betydelserna: En del studenter utvecklar en förståelse för ämnet som är oberoende av formler. De kan på ett bra sätt beskriva matematikens idéer och samband med tilllämpningarna, men skriver ständigt fel när de försöker använda formelspråket. Andra är experter på formellt räknande, men kan inte säga något om hur det fungerar eller hur det hänger ihop med tillämpningar. Jag tycker att upprepade översättningar mellan matematiska och svenska är ett mycket bra sätt att knyta ihop de två. Att göra det synligt att matematiska formler verkligen representerar idéer. Matematik är mångsidigt. Vi växlar ofta mellan algebraiskt, geometriskt, numeriskt, logiskt och idémässigt när vi gör matematiska resonemang.
Det tycks mig att om man anser att ”i matematik finns det ingetning att diskutera” så har man aldrig lyssnat seriöst på sina studerande. För om man gör det måste man ta ställning till andra människors möjliga tolkningar, och komplexitet och dubbelbetydelser blir uppenbara. Det tycks vara lätt att som lärare ignorera frågor utan att någon tycker det är något konstigt. Elever tar själva på sig problemen – de anser att de inte har förstått. Men de lärare som lyckas lyssna blir kanske sällsynt populära.
Tyvärr tycks det som man i lärarutbildningarna inte i någon större grad förbereds för den typ av matematisk kompetens som man behöver för att besvara oväntade och autentiska matematikfrågor. Det tycks mig vara en generell brist i matematikkulturen, att inte se behovet av ett välutvecklat gemensamt språk för att givande matematiska samtal där elever/studenter känner att det inte är svårt att delta ska kunna bli möjliga och vanliga. Jag tror att vi måste tillåta ett i hög grad metaforiskt språk för att det ska fungera, som ändå inte tappar kontakten med matematiska sanningar och samband, matematisk terminologi och formalism. Det är kanske inte så lätt.